西安交通大学2020年信号与系统期末试题（暑期重修班）

试题共七道大题，小题并不能回忆起全部内容，还请见谅；其中选择题记不清选项，可以作为填空题练习。

试题仅仅由考试后回忆记录，并无任何作弊行为，仅供后续学弟学妹提供复习参考；文字并不是试卷的完整的表述，仅代表个人对题意的理解。

点击题目可查看个人计算结果，仅供参考，如有错误请联系我。

一、判断题（共六题）

- 离散时间信号与其在扩展域上的零极点图是一一对应的

× 错误，z域上的零极点图一定要说明收敛域才能与信号构成一一对应的关系

- 有限的点长信号通过点长有限的系统的输出信号点长大于等于输入信号的点长

√ 正确，卷积定义，很容易确认正确性

- 单位脉冲函数是离散时间LTI系统的特征函数

× 错误，特征函数是复指数函数

二、单选题（共六题）

\sin [\frac{15 π}{32} n]

$\sin [\frac{15\pi }{32}n]$ 的基波周期

$\frac{N = \frac{2 π}{ω} m = 2 π}{\frac{15 π}{32} m = \frac{64}{15} m \to N = 64}$
$N = {2\pi \over \omega}m = 2\pi \over \frac{15\pi}{32} m = \frac{64}{15}m \rightarrow N = 64$

- 一离散时间系统有一个极点为

\frac{8}{9}

$\frac{8}{9}$ ，有一个零点为0，这个系统是什么系统（低通/高通/带通/带阻）

零点只有一个在0处，因此系统的特性只与极点有关。极点在单位圆内且位于实轴的左半部，因此在 $0$ $处可以取到极大值，在$ \pi $$处取到极小值，因此系统为低通系统。

- 已知

h [n]

$h[n]$ 为一个低通系统，则

(- 1)^{n} h [n]

$(-1)^n h[n]$ 是什么系统（低通/高通/带通/全通）

按照上题类比，所要求解的系统多了一个在-1处的极点，因此依然是低通系统

h (t)

$h(t)$ 稳定的充要条件

系统绝对可积

三、计算题

1. 已知

x [n] = u [n + 1] - u [n - 2]

$x[n]= u[n+1] - u[n-2]$ ，

h [n] = (n + 1) u [n] - u [n - 3]

$h[n] = (n+1) u[n] - u[n-3]$ ，求

y [n]

$y[n]$ ，并画出

y [n]

$y[n]$

$x [n] = δ [n + 1] + δ [n] + δ [n - 1] h [n] = δ [n] + 2 δ [n - 1] + 3 δ [n - 2] \Rightarrow X (e^{j ω}) = e^{j ω} + 1 + e^{- j ω} H (e^{j ω}) = 1 + 2 e^{- j ω} + 3 e^{- j ω} \Rightarrow Y (e^{j ω}) = X (e^{j ω}) H (e^{j ω}) = e^{j ω} + 3 + 6 e^{- j ω} + 3 e^{- 2 j ω} + e^{- 3 j ω} \Rightarrow y [n] = δ [n + 1] + 3 δ [n] + 6 δ [n - 1] + 3 δ [n - 2] + δ [n - 3]$
$x[n] = \delta[n+1] + \delta[n] + \delta[n-1] \\ h[n] = \delta[n] + 2\delta[n-1] + 3\delta[n-2] \\ \Rightarrow X(e^{j\omega}) = e^{j\omega} + 1 + e^{-j\omega} \\ H(e^{j\omega}) = 1 + 2e^{-j\omega} + 3e^{-j\omega} \\ \Rightarrow Y(e^{j\omega}) = X(e^{j\omega})H(e^{j\omega}) = e^{j\omega} + 3 + 6e^{-j\omega} + 3e^{-2j\omega} +e^{-3j\omega} \\ \Rightarrow y[n] = \delta[n+1] + 3\delta[n] + 6\delta[n-1] + 3\delta[n-2] + \delta[n-3]$

2. 已知

x (t)

$x(t)$ 的傅里叶变换为

X (j ω)

$X(j\omega)$ ，

y (t) = x (2 t - 1) + x (t / 3)

$y(t) = x(2t-1) + x(t/3)$ ，试用

X (j ω)

$X(j\omega)$ 表示

Y (j ω)

$Y(j\omega)$

$y (t) = x_{1} (t) + x_{2} (t) \Rightarrow Y (j ω) = X_{1} (j ω) + X_{2} (j ω) X_{1} (j ω) = e^{- j ω} \frac{1}{2} X (j \frac{ω}{2}) X_{2} (j ω) = 3 X (3 j ω)$
$y(t) = x_1(t) +x_2(t) \Rightarrow Y(j\omega) = X_1(j\omega) + X_2(j\omega) \\ X_1(j\omega) = e^{-j\omega}\frac{1}{2}X(j\frac{\omega}{2}) \\X_2(j\omega) = 3X(3j\omega)$

3. 已知

x (t) = \sum_{k = 0}^{3} (\frac{1}{2})^{k} \cos (3 k π)

$x(t) = \sum_{k=0}^{3}(\frac{1}{2}) ^{k}\cos (3k\pi)$ ，现通过一个单位脉冲响应

h (t) = \frac{\sin 4 t}{π t}

$h(t) = \frac{\sin4t}{\pi t}$ 的系统，求

y (t)

$y(t)$

系统是一个LTI系统，在频域是一个门函数，将输入信号的求和号展开可以得到四项，只有频域在门函数内可以通过，且加权为1；其余项无法通过门函数，输出为0。因此输出信号为 $x(t) = \sum_{k=0}^{1}(\frac{1}{2}) ^{k}\cos (3k\pi)$

4. 将

X (z)

$X(z)$ 的z反变换

x [n]

$x[n]$ 表示成下述的形式：

x [n] = x [0] δ [n] + x [1] δ [n - 1] + - - - + x [4] δ [n - 4] X (z) = \frac{2 + z^{-} 1}{2 + 3 z^{- 1} + z^{- 2}}

$x[n] = x[0]\delta[n] + x[1]\delta[n-1] + --- +x[4]\delta[n-4] \\ X(z) = \frac{2+z^-1}{2+3z^{-1}+z^{-2}}$

使用长除法，注意降幂排列，答案略

四、已知 $x[n] = \delta[n+1] + \delta[n] +\delta[n-1]$

1. 求 $X(j\omega)$

2. 求 $\int_{-\pi}^{\pi}\left | X(j\omega) \right |^2 d\omega$ 和 $\int_{-\pi}^{\pi} X(j\omega) d\omega$

3. 将x[n]进行周期延拓作为 $\tilde{x}[n]$ ，设 $N = 5$ ，试求 $\tilde{x}[n]$ 的傅里叶级数的系数 $a_k$

五、根据系统的零极点图求解以下问题：

极点为-2、-3，零点为2

1. 求 $H(s)$ ，已知 $H(0) = -1$

2. 求系统的微分方程与 $h(t)$

3. 当 $x(t) = e^-tu(t)$ 时，求 $y(t)$

4. 当 $x(t) = \cos 3t$ 时，求输出的幅值改变大小

六、已知该系统的初始状态是松弛的，求解以下问题：

离散时间系统的网络结构

1. 求 $H(z)$

2. 求该系统的差分方程

3. 求当 $n=0,1,2,3,4$ 时， $h[n]$ 的值

4. 已知输入信号为：$ x[n]=\left{
$\begin{matrix} 1 & n = 0 - 1 & n = 1 0 & o t h e r \end{matrix}$
$\begin{matrix} 1 & n=0 \ -1 & n=1 \ 0 & other \end{matrix}$ \right. $求$ y[n] $

七、

连续时间采样

1. （具体题目已忘记）给定采样系统如图所示，给定 $\omega_s \textgreater 2\omega$ ， $p(t)$ 、 $x_c(t)$ 已知，试利用 $X_c(j\omega)$ 得到 $X_p(j\omega)$ 与 $X_d(e^{j\omega})$ ，并通过 $X_p(j\omega)$ 与 $X_d(e^{j\omega})$ 说明奈奎斯特采样定理

2. 已知连续时间信号 $x(t)$ 的傅里叶变换 $X(j\omega) = 0, \quad \left| \omega \right| \geq \frac{\pi }{6}$ ， $h(t) = e^-tu(t)$ ， $y(t) = x^2(t) \ast h(t)$ ，试求 $y(t)$ 的奈奎斯特率。

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全靠考后的记忆恢复的题目，小题无法完整复述还请见谅

一、判断题（共六题）

二、单选题（共六题）

三、计算题

四、已知 $x[n] = \delta[n+1] + \delta[n] +\delta[n-1]$

1. 求 $X(j\omega)$

2. 求 $\int_{-\pi}^{\pi}\left | X(j\omega) \right |^2 d\omega$ 和 $\int_{-\pi}^{\pi} X(j\omega) d\omega$

3. 将x[n]进行周期延拓作为 $\tilde{x}[n]$ ，设 $N = 5$ ，试求 $\tilde{x}[n]$ 的傅里叶级数的系数 $a_k$

五、根据系统的零极点图求解以下问题：

1. 求 $H(s)$ ，已知 $H(0) = -1$

2. 求系统的微分方程与 $h(t)$

3. 当 $x(t) = e^-tu(t)$ 时，求 $y(t)$

4. 当 $x(t) = \cos 3t$ 时，求输出的幅值改变大小

六、已知该系统的初始状态是松弛的，求解以下问题：

1. 求 $H(z)$

2. 求该系统的差分方程

3. 求当 $n=0,1,2,3,4$ 时， $h[n]$ 的值

4. 已知输入信号为：$ x[n]=\left{
$\begin{matrix} 1 & n = 0 - 1 & n = 1 0 & o t h e r \end{matrix}$
$\begin{matrix} 1 & n=0 \ -1 & n=1 \ 0 & other \end{matrix}$ \right. $求$ y[n] $

七、

1. （具体题目已忘记）给定采样系统如图所示，给定 $\omega_s \textgreater 2\omega$ ， $p(t)$ 、 $x_c(t)$ 已知，试利用 $X_c(j\omega)$ 得到 $X_p(j\omega)$ 与 $X_d(e^{j\omega})$ ，并通过 $X_p(j\omega)$ 与 $X_d(e^{j\omega})$ 说明奈奎斯特采样定理

2. 已知连续时间信号 $x(t)$ 的傅里叶变换 $X(j\omega) = 0, \quad \left| \omega \right| \geq \frac{\pi }{6}$ ， $h(t) = e^-tu(t)$ ， $y(t) = x^2(t) \ast h(t)$ ，试求 $y(t)$ 的奈奎斯特率。

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一、判断题（共六题）

二、单选题（共六题）

三、计算题

四、 已知x[n]=δ[n+1]+δ[n]+δ[n−1] x[n] = \delta[n+1] + \delta[n] +\delta[n-1]

1. 求X(jω) X(j\omega)

2. 求∫−ππ|X(jω)|2dω \int_{-\pi}^{\pi}\left | X(j\omega) \right |^2 d\omega 和 ∫−ππX(jω)dω \int_{-\pi}^{\pi} X(j\omega) d\omega

3. 将x[n]进行周期延拓作为x~[n] \tilde{x}[n] ，设N=5 N = 5 ，试求x~[n] \tilde{x}[n] 的傅里叶级数的系数 ak a_k

五、 根据系统的零极点图求解以下问题：

1. 求H(s) H(s) ，已知H(0)=−1 H(0) = -1

2. 求系统的微分方程与h(t) h(t)

3. 当x(t)=e−tu(t) x(t) = e^-tu(t) 时，求y(t) y(t)

4. 当x(t)=cos⁡3t x(t) = \cos 3t 时，求输出的幅值改变大小

六、 已知该系统的初始状态是松弛的，求解以下问题：

1. 求H(z) H(z)

2. 求该系统的差分方程

3. 求当n=0,1,2,3,4 n=0,1,2,3,4 时，h[n] h[n] 的值

4. 已知输入信号为：$ x[n]=\left{1n=0 −1n=1 0other\begin{matrix} 1 & n=0 \ -1 & n=1 \ 0 & other \end{matrix}\right. 求求 求 y[n] $

七、

2. 已知连续时间信号x(t) x(t) 的傅里叶变换X(jω)=0,|ω|≥π6 X(j\omega) = 0, \quad \left| \omega \right| \geq \frac{\pi }{6}，h(t)=e−tu(t) h(t) = e^-tu(t) ，y(t)=x2(t)∗h(t) y(t) = x^2(t) \ast h(t) ， 试求y(t) y(t) 的奈奎斯特率。

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四、已知 $x[n] = \delta[n+1] + \delta[n] +\delta[n-1]$

1. 求 $X(j\omega)$

2. 求 $\int_{-\pi}^{\pi}\left | X(j\omega) \right |^2 d\omega$ 和 $\int_{-\pi}^{\pi} X(j\omega) d\omega$

3. 将x[n]进行周期延拓作为 $\tilde{x}[n]$ ，设 $N = 5$ ，试求 $\tilde{x}[n]$ 的傅里叶级数的系数 $a_k$

五、根据系统的零极点图求解以下问题：

1. 求 $H(s)$ ，已知 $H(0) = -1$

2. 求系统的微分方程与 $h(t)$

3. 当 $x(t) = e^-tu(t)$ 时，求 $y(t)$

4. 当 $x(t) = \cos 3t$ 时，求输出的幅值改变大小

六、已知该系统的初始状态是松弛的，求解以下问题：

1. 求 $H(z)$

3. 求当 $n=0,1,2,3,4$ 时， $h[n]$ 的值

4. 已知输入信号为：$ x[n]=\left{
$\begin{matrix} 1 & n = 0 - 1 & n = 1 0 & o t h e r \end{matrix}$
$\begin{matrix} 1 & n=0 \ -1 & n=1 \ 0 & other \end{matrix}$ \right. $求$ y[n] $

2. 已知连续时间信号 $x(t)$ 的傅里叶变换 $X(j\omega) = 0, \quad \left| \omega \right| \geq \frac{\pi }{6}$ ， $h(t) = e^-tu(t)$ ， $y(t) = x^2(t) \ast h(t)$ ，试求 $y(t)$ 的奈奎斯特率。